Hermiittiset ja unitaariset matriisit
Miina, Sanni (2021)
Miina, Sanni
2021
Matematiikan ja tilastotieteen kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Mathematics and Statistics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2021-03-23
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202103222631
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202103222631
Tiivistelmä
Matriisit ovat lineaarialgebran yksi keskeisimmistä aiheista. Tässä tutkielmassa keskitytään tarkastelemaan muutamaa matriisiluokkaa ja matriisien diagonalisointia.
Tutkielman pääpaino on kompleksisen avaruuden hermiittisissä ja unitaarisissa matriiseissa. Lisäksi tarkastellaan reaalisen avaruuden symmetrisiä ja ortogonaalisia matriiseja. Tutkielman keskeisessä roolissa on matriisien diagonalisoituvuus ja ensimmäisissä luvuissa esitetään sen ymmärtämiseen vaadittavia matriisien ominaisuuksia.
Tutkielman toisessa luvussa päästään tutustumaan tutkielman aiheeseen, kun siinä esitellään myöhemmissä vaiheissa hyödynnettäviä määritelmiä. Tärkeitä tietoja ymmärtää ovat myöhemmin useasti esiintyvät ominaisarvot ja ominaisvektorit. Luvussa määritellään myös ortogonaalisuus sekä ominaisarvojen etsimisen kannalta tärkeä karakteristinen yhtälö.
Kolmannessa luvussa päästään tutkielman aiheeseen, kun siirrytään käsittelemään ensin reaalisista matriiseista symmetrisiä ja ortogonaalisia, sekä kompleksisista hermiittisiä ja unitaarisia matriiseja. Matriisien määrittelemisen lisäksi tarkastellaan, ovatko ominaisarvot reaalisia sekä ovatko niitä vastaavat ominaisvektorit ortogonaalisia. Reaalisilla symmetrisillä ja kompleksisilla hermiittisillä matriiseilla on monia yhtäläisiä ominaisuuksia. Tällaisia ovat muun muassa ominaisarvojen reaalisuus ja ominaisvektorien ortogonaalisuus. Myös reaalisilla ortogonaalisilla ja kompleksisilla unitaarisilla matriiseilla on yhtäläisyyksiä. Nämä perustuvat siihen, että unitaarinen matriisi on ortogonaalinen, jos sen alkiot ovat reaalisia.
Viimeisessä luvussa siirrytään matriisien diagonalisoituvuuden käsittelemiseen. Ensin määritellään reaalisen matriisin ortogonaalinen diagonalisoituvuus ja toisena kompleksisen matriisin unitaarinen diagonalisoituvuus. Diagonalisoituvuus on yksi hyödyllisimmistä tekniikoista matriiseja sovellettaessa ja siksi tärkeä käsiteltävä aihe. Siinä hyödynnetään aiemmissa luvuissa esitettyjä määritelmiä ja lauseita, erityisesti ominaisarvot ja ominaisvektorit ovat tärkeä osa diagonalisointia. Luvun lopussa esitetään vielä hermiittisen matriisin diagonalisoinnin neljä keskeistä vaihetta.
Tutkielman pääpaino on kompleksisen avaruuden hermiittisissä ja unitaarisissa matriiseissa. Lisäksi tarkastellaan reaalisen avaruuden symmetrisiä ja ortogonaalisia matriiseja. Tutkielman keskeisessä roolissa on matriisien diagonalisoituvuus ja ensimmäisissä luvuissa esitetään sen ymmärtämiseen vaadittavia matriisien ominaisuuksia.
Tutkielman toisessa luvussa päästään tutustumaan tutkielman aiheeseen, kun siinä esitellään myöhemmissä vaiheissa hyödynnettäviä määritelmiä. Tärkeitä tietoja ymmärtää ovat myöhemmin useasti esiintyvät ominaisarvot ja ominaisvektorit. Luvussa määritellään myös ortogonaalisuus sekä ominaisarvojen etsimisen kannalta tärkeä karakteristinen yhtälö.
Kolmannessa luvussa päästään tutkielman aiheeseen, kun siirrytään käsittelemään ensin reaalisista matriiseista symmetrisiä ja ortogonaalisia, sekä kompleksisista hermiittisiä ja unitaarisia matriiseja. Matriisien määrittelemisen lisäksi tarkastellaan, ovatko ominaisarvot reaalisia sekä ovatko niitä vastaavat ominaisvektorit ortogonaalisia. Reaalisilla symmetrisillä ja kompleksisilla hermiittisillä matriiseilla on monia yhtäläisiä ominaisuuksia. Tällaisia ovat muun muassa ominaisarvojen reaalisuus ja ominaisvektorien ortogonaalisuus. Myös reaalisilla ortogonaalisilla ja kompleksisilla unitaarisilla matriiseilla on yhtäläisyyksiä. Nämä perustuvat siihen, että unitaarinen matriisi on ortogonaalinen, jos sen alkiot ovat reaalisia.
Viimeisessä luvussa siirrytään matriisien diagonalisoituvuuden käsittelemiseen. Ensin määritellään reaalisen matriisin ortogonaalinen diagonalisoituvuus ja toisena kompleksisen matriisin unitaarinen diagonalisoituvuus. Diagonalisoituvuus on yksi hyödyllisimmistä tekniikoista matriiseja sovellettaessa ja siksi tärkeä käsiteltävä aihe. Siinä hyödynnetään aiemmissa luvuissa esitettyjä määritelmiä ja lauseita, erityisesti ominaisarvot ja ominaisvektorit ovat tärkeä osa diagonalisointia. Luvun lopussa esitetään vielä hermiittisen matriisin diagonalisoinnin neljä keskeistä vaihetta.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [7072]