Pinta-ala euklidisessa tasogeometriassa
Tekijät
Päivämäärä
2021Tekijänoikeudet
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Tässä tutkielmassa tutkitaan pinta-alaa euklidisessa tasogeometriassa kahden eri lähtökohdan kautta. Perusideana on tarkastella kahden eri monikulmion samakokoisuutta pinta-alafunktion sekä osittamisen näkökulmasta. Aluksi oletetaan pinta-alafunktion olemassaolo ja myöhemmin perehdytään sen olemassaolon todistamiseen, joka on yksi työn päätuloksista.
Pinta-alalle määritellään täsmällinen käsite, pinta-alafunktio, jolle pätee neljä ominaisuutta. Näiden ominaisuuksien avulla pystytään todistamaan aikaisemmin koulusta tuttuja geometrian tuloksia kuten esimerkiksi suorakulmaisen kolmion ja suorakulmion pinta-alojen kaavat sekä Pythagoraan lause.
Kahden eri monikulmion samankokoisuutta voidaan tarkastella myös toisella tavalla, monikulmioiden osittamisella. Käytännön ongelma osittamisessa on se, kuinka pilkkoa monikulmio osiin, uudelleen järjestää nämä osat ja muodostaa haluttu monikulmio, jolla on sama pinta-ala kuin alkuperäisellä monikulmiolla. Työn toinen päätulos Wallacen, Bolyain ja Gerwienin lause kertoo, että kaksi monikulmiota voidaan pilkkoa samanlaisiin osiin, joista voidaan muodostaa toinen monikulmio, jos ja vain jos monikulmioiden pinta-alat ovat yhtä suuret. Lauseen havainnollistamiseksi näytetään, miten tasasivuinen kolmio ositetaan neliöksi ja miten Pythagoraan lause todistetaan osittamisella.
Pinta-alan tutkimisen lisäksi työssä todistetaan pinta-alan olemassaolo. Pinta-alan olemassaolo tarkoittaa sitä, että on todella olemassa pinta-alafunktio, joka täyttää määritelmän ehdot. Sekaannuksen välttämiseksi määritellään toinen käsite, kaava-ala (engl. formula area). Tarkoituksena on näyttää, että kaava-alafunktio on hyvin määritelty ja sille pätee samat ominaisuudet kuin pinta-alafunktiolle.
...
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [28143]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Jana-aritmetiikka geometrisesti
Hassi, Juuso (2021)Tämän tutkielman tarkoituksena on esittää vaihtoehtoinen tapa määritellä jana-aritmetiikka. Yleisesti jana-aritmetiikkaa määriteltäessä on totuttu antamaan janalle pituus, joka usein kiinnitetään reaalilukuihin. Tällä ... -
Eukleideen geometriaa
Joutsen, Elina (2018)Eukleides Aleksandrialainen oli kreikkalainen matemaatikko, joka loi noin 300 eaa. euklidisen geometrian. Hän julkaisi euklidisen geometrian perustana olevat aksioomat ja perusolettamukset teoksessaan Alkeet. Eukleideen ... -
Projektiivinen geometria
Hyvönen, Jussi (2017)Tässä tutkielmassa käsittellään projektiivista geometriaa aksioomien ja mallien kautta. Tutkielma keskittyy pääasiassa äärellisiin projektiivisiin geometrioihin ja niistä erityisesti tasogeometriaan. Tutkielmassa luodaan ... -
Circular Forms in Aleksis Kivi’s Texts
Kukkonen, Tiina Katriina (Tessellations Publishing, 2016)In this paper, I identify and analyse regular geometric forms that appear in nineteenth-century Finnish author Aleksis Kivi’s texts. His characters and his narrators exemplify these forms to the reader. The characters’ ... -
Visuaalinen tangentti lukion pitkässä matematiikassa
Sauramäki, Arja (2017)Opinnäytetyössä selvitellään lukion pitkän matematiikan opiskelijoiden käsityksiä visuaalisesta tangenttisuorasta (lyh. tangentista). Työ sisältää tietokoosteen tutkielman aihepiirin visuaalisesta tangentista. Lukio-opiskelijoiden ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.