Algebrallista lukuteoriaa : Pellin yhtälöstä ja aritmetiikan peruslauseen yleistämisestä
Tekijät
Päivämäärä
2019Tekijänoikeudet
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Tutkielman tarkoituksena on Pellin yhtälön ratkaiseminen ja aritmetiikan peruslauseen voimassaolon tutkiminen algebrallisten kokonaislukujen muodostamissa renkaissa \mathbb{Z}[\sqrt{-2}], \mathbb{Z}[\sqrt{-3}],\mathbb{Z}[\sqrt{\zeta_3}]$ ja $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]. Aritmetiikan peruslauseella tarkoitetaan yleisimmin positiivisten kokonaislukujen yksikäsitteistä alkulukuhajotelmaa. Pellin yhtälön ratkaisussa käytetyt tavat käsitellä algebrallisia kokonaislukuja ovat apuna aritmetiikan peruslauseen yleistämisessä muihin lukuluokkiin. Tutkielmassa tutustutaan myös ketjumurtolukujen tarjoamaan ratkaisualgoritmiin Pellin yhtälölle. Lisäksi tutkielmassa käsitellään ideaalien teoriaa, sillä jos varsinaista määritelmän mukaista yksikäsitteistä tekijöihinjakoa ei pystytä renkaalle yleistämään, voidaan alkutekijähajotelmaa tarkastella alkuideaalien avulla.
Tutkielmassa aloitetaan algebran ja lukuteorian kurssilla käsitellyistä määritelmistä ja edetään asteittain vaativampiin algebrallisiin rakenteisiin. Tutkielmassa käytetään kuvia ja geometriaa algebrallisten todistusten rinnalla. Lisäksi perehdytään hieman käsiteltävien aiheiden historiaan sekä tietokonelaskemiseen. Tutkielman kahdessa ensimmäisessä luvussa käydään läpi tutkielman kannalta tärkeitä tuloksia ja esitetään aritmetiikan peruslauseen todistus positiivisilla kokonaisluvuilla. Kolmas luku käsittelee Pellin yhtälöä ja neljäs luku aritmetiikan peruslauseen yleistämistä. Viidennessä luvussa tutkitaan yksikäsitteisen tekijöihinjaon epäonnistumista ja perehdytään ideaaleihin.
Tuloksena saadaan yksikäsitteisen tekijöihinjaon onnistuminen renkaissa \mathbb{Z}[\sqrt{-2}] ja \mathbb{Z}[\zeta_3]. Yksikäsitteinen tekijöihinjako epäonnistuu renkaissa \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] ja \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]. Toisaalta renkaalle \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] voidaan määrittää alkutekijähajotelma käyttäen alkuideaaleja, ja alkutekijähajotelma on yksikäsitteinen.
...
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [28138]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
The minimal number of generators for ideals in commutative rings
Pirnes, Erika (2018)Olkoon R kommutatiivinen rengas. Tämän tutkielman tarkoituksena on etsiä ylä- ja alarajat äärellisviritteisen ideaalin I = (a1, . . . , an) ⊂ R minimaaliselle virittäjämäärälle. Tärkeänä työkaluna toimii moduliteoria; ... -
Pääideaalialueen moduulien päälause
Lehtikangas, Vilppu (2021)Tämän tutkielman tarkoituksena on rakentaa moduulien teoria ryhmä- ja rengasteorian alkeista lähtien, sekä osoittaa pääideaalialueiden moduulien päälause. Moduuli on joukko G varustettuna yhteenlaskutoimituksella, joka ... -
Kokonaislukujen erilaisia esitysmuotoja
Iivari, Antti (2014) -
Fermat'n suuren lauseen erikoistapauksia
Väisänen, Jussi (2018)Tämän tutkielman tarkoituksena on perehtyä Fermat'n suuren lauseen todistuksen syntyyn ja etenkin muutamiin lauseen yksinkertaisimpiin erityistapauksiin. Fermat'n suuren lauseen mukaan ei ole olemassa kokonaislukuja x, y ... -
Schnirelmannin lause
Still, Ida (2021)Tämän tutkielman tarkoituksena on esittää todistus neuvostoliittolaisen matemaatikon Lev Schnirelmannin 1930-luvun alussa osoittamalle tulokselle, jonka mukaan on olemassa sellainen luku S, että jokainen ykköstä suurempi ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.