Trooppista geometriaa
HIRVONEN, JOONA (2013)
HIRVONEN, JOONA
2013
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden yksikkö - School of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2013-05-29
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-24016
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-24016
Tiivistelmä
Tämä tutkielma rakentuu todistamaan Kapranovin lauseen, joka yhdistää trooppisen geometrian ja algebrallisen geometrian. Aluksi keskitytään esittelemään Kapranovin lausetta varten oleellisia määritelmiä ja tuloksia. Trooppinen puolirengas on joukko, joka koostuu reaalilukujen joukosta ja alkiosta ääretön, ja jossa yhteenlaskuna toimii minimin ottaminen ja kertolaskuna tavallinen yhteenlasku. Tähän liittyen määritellään trooppinen Laurent polynomi. Tämä on polynomi, jossa kerroinrenkaana on trooppinen puolirengas ja jossa sallitaan myös muuttujien negatiiviset potenssit. Lisäksi määritellään trooppisen Laurent polynomin määräämä hyperpinta. Kunnan valuaatio on kuvaus, joka kuvaa kunnan alkiot trooppisen puolirenkaan alkioiksi. Esimerkkinä kunnasta ja sen valuaatiosta toimii Puiseux sarjojen kunta. Valuaation avulla saadaan linkitettyä algebrallinen geometria kunnassa trooppiseen geometriaan trooppisessa puolirenkaassa. Tämä tapahtuu määrittelemällä polynomin tropikalisaatio, joka muuttaa polynomin laskutoimitukset ja kertoimet kunnasta trooppiselle puolirenkaalle. Tämän avulla saadaan edelleen määriteltyä polynomin alkumuoto, jonka kerroin renkaana toimii valuaation avulla muodostettu kunnan jäännöskunta. Lopuksi määritellään tavallinen hyperpinta ja todistetaan Kapranovin lause, joka näyttää yhteyden hyperpintojen ja trooppisten hyperpintojen välille algebrallisesti suljetun kunnan tapauksessa.Lukijalle oletetaan tutuiksi renkaat ja kunnat sekä usean muuttujan polynomit. Lisäksi reaalilukujen standarditopologian perusosaaminen tarvitaan joidenkin todistuksien ymmärtämiseen. Tutkielmassa käsitellää myös Laurent polynomeja ja muodollisia potenssisarjoja, mutta nämä ovat ymmärrettävissä tarvittavissa määrin polynomien tuntemuksen pohjalta. Vaikka algebrallinen geometria liittyy vahvasti trooppiseen geometriaan, ei lukijalta vaadita tämän alueen tuntemusta. Tosin perehtyneisyys algebralliseen geometriaan antaa lukijalle enemmän näkökulmia tutkielman tulosten merkitykseen.