Funktion käsitteen opettaminen yliopisto- ja lukiomatematiikassa : oppikirja-analyysi funktion käsitteen opettamisesta yliopistossa sekä lukion lyhyessä - ja pitkässä matematiikassa
Blomqvist, Marko (2016)
Blomqvist, Marko
2016
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden yksikkö - School of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2016-06-16
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201709252474
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201709252474
Kuvaus
Valinnaisten opintojen tutkielma
Tiivistelmä
Tutkimuksen tarkoituksena oli selvittää kuinka funktion käsite opetetaan yliopistossa, lukion lyhyessä - sekä lukion pitkässä matematiikassa. Toteutin tutkimuksen analysoimalla eri tasojen oppimateriaaleja. Yliopistotason funktion opetuksen selvittämiseen käytin Johdatus diskreettiin matematiikkaan -oppikirjaa sekä Tampereen Yliopiston joukko-opin luentomonistetta syksyltä 2011. Lukion osalta sekä lyhyessä - että pitkässä matematiikassa analysoin kolmea eri kirjasarjaa, jotka pyrin valitsemaan eri kustantajilta. Lyhyen matematiikan osalta analysoin Lyhyt Matikka (Sanoma Pro), SIGMA (Tammi) sekä Kertoma! (Otava) -kirjasarjojen kursseja MAB1 Lausekkeet ja yhtälöt sekä MAB3 Matemaattisia malleja 1. Pitkän matematiikan osalta analysoin Pitkä Matematiikka (Sanoma Pro), Pitkä SIGMA (Sanoma Pro) sekä Laudatur (Otava) -kirjasarjojen kursseja MAA1 Funktiot ja yhtälöt sekä MAA2 Polynomifunktiot.
Selvitin Lukion opetussuunnitelmien perusteet 2003 asettamat tavoitteet ja keskeiset sisällöt edellä mainittujen kurssien osalta, jonka jälkeen analysoin oppikirjat. Tutkimuksesta ilmenee oppikirjojen luonteenomaisia eroja, mutta tutkimuksen kiinnostuksena on funktion käsitteen opettaminen matematiikan näkökulmasta. Käytin yliopistotason funktion käsitteen opettamista lähtökohtana täsmälliselle esitykselle funktion käsitteestä, johon peilasin lukiotason opetusta.
Yliopisto opettaa funktion olevan kuvaus kahden joukon välillä. Relaatio on järjestettyjen parien joukko, jossa jokaisessa järjestetyssä parissa ilmenee ennalta määrätty suhde, relaation sääntö. Jotta relaatio olisi kuvaus eli funktio, relaation jokaisen lähtöjoukon alkion x ∈ X tulee olla yhden ja vain yhden arvojoukon alkion y ∈ Y kanssa relaatiossa. Eli jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu yksikäsitteisesti arvojoukon alkiolle.
Lukion osalta tarkastellen tutkimus osoitti, että kirjasarjalla on merkitystä siihen, miten ja mitä funktion käsitteestä opetetaan. Funktion käsite opetettiin kirjasarjasta riippuen jopa eri kurssilla. Lyhyestä matematiikasta funktion käsitteen opetti MAB1-kurssilla vain Lyhyt Matikka -kirjasarja, kun taas SIGMA ja Kertoma! opettivat sen MAB3-kurssilla. Pitkässä matematiikassa Pitkä SIGMA ja Laudatur -kirjasarjat opettivat funktion käsitteen kurssilla MAA1, kun Pitkä Matematiikka - kirjasarja opetti sen vasta kurssilla MAA2.
Lyhyessä matematiikassa kaikille kirjasarjoille oli yhteistä, että ne opettavat funktiolla kuvattavan suureiden välistä riippuvuutta ja että funktion sääntö pyritään ilmoittamaan matemaattisella lausekkeella. Lyhyt Matikka -kirjasarja suhteutui funktioon välineenä, jolla ensisijaisesti toimittiin, kun taas SIGMA ja Kertoma! -kirjasarjoissa se oli enemmänkin päämäärä, jota kohti oltiin matkalla. Lyhyt Matikka kertoi funktion olevan sääntö, joka ilmaisee kuinka luvusta saadaan toinen luku. SIGMA ei opettanut funktion yleistä muotoa, mutta kirja kertoi funktion liittävän jokaiseen muuttujaan x täsmälleen yhden arvon y. Kertoma! opetti yleisen muodon käytännön tasolla, mutta ei abstraktilla relaation tasolla.
Pitkässä matematiikassa jokainen kirjasarja opetti funktion olevan yksikäsitteinen sääntö, mutta asian esittämisen matemaattisessa täsmällisyydessä oli eroja. Pitkässä matematiikassa täsmällisin ja samalla runsain kirjasarja funktion käsitteen osalta oli Laudatur. Pitkä SIGMA oli loogisin ja rakenteeltaan selkein kokonaisuus opettaen funktion käsitteestä kaiken tarpeellisen, jotta sen voi omaksua ja ymmärtää yleisellä tasolla, mutta ei enempää. Pitkä Matematiikka oli esitykseltään niukin ja rajasi funktion koskemaan vain lukuja ja esitteli funktion enemmänkin toiminnallisena välineenä, kuin kuvauksena kahden joukon välillä.
Tutkimuksen tärkein johtopäätelmä oli se, että vaikka kaikki kirjasarjat noudattivat samaa opetussuunnitelmaa, olivat tavat opettaa funktio jokaisessa kirjasarjassa erilainen. Näin ollen kirjasarjan valinta vaikuttaa oleellisesti tapaan, jolla funktio lukion lyhyessä matematiikassa kirjan avulla esitetään. Tästä johtuen opettajien tulee olla tietoisia niistä syistä, joiden takia valitsevat käyttämänsä kurssikirjat ja toisaalta niistä seurauksista, joita nämä valinnat mahdollisesti aiheuttavat oppilaiden matemaattisessa osaamisessa.
Selvitin Lukion opetussuunnitelmien perusteet 2003 asettamat tavoitteet ja keskeiset sisällöt edellä mainittujen kurssien osalta, jonka jälkeen analysoin oppikirjat. Tutkimuksesta ilmenee oppikirjojen luonteenomaisia eroja, mutta tutkimuksen kiinnostuksena on funktion käsitteen opettaminen matematiikan näkökulmasta. Käytin yliopistotason funktion käsitteen opettamista lähtökohtana täsmälliselle esitykselle funktion käsitteestä, johon peilasin lukiotason opetusta.
Yliopisto opettaa funktion olevan kuvaus kahden joukon välillä. Relaatio on järjestettyjen parien joukko, jossa jokaisessa järjestetyssä parissa ilmenee ennalta määrätty suhde, relaation sääntö. Jotta relaatio olisi kuvaus eli funktio, relaation jokaisen lähtöjoukon alkion x ∈ X tulee olla yhden ja vain yhden arvojoukon alkion y ∈ Y kanssa relaatiossa. Eli jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu yksikäsitteisesti arvojoukon alkiolle.
Lukion osalta tarkastellen tutkimus osoitti, että kirjasarjalla on merkitystä siihen, miten ja mitä funktion käsitteestä opetetaan. Funktion käsite opetettiin kirjasarjasta riippuen jopa eri kurssilla. Lyhyestä matematiikasta funktion käsitteen opetti MAB1-kurssilla vain Lyhyt Matikka -kirjasarja, kun taas SIGMA ja Kertoma! opettivat sen MAB3-kurssilla. Pitkässä matematiikassa Pitkä SIGMA ja Laudatur -kirjasarjat opettivat funktion käsitteen kurssilla MAA1, kun Pitkä Matematiikka - kirjasarja opetti sen vasta kurssilla MAA2.
Lyhyessä matematiikassa kaikille kirjasarjoille oli yhteistä, että ne opettavat funktiolla kuvattavan suureiden välistä riippuvuutta ja että funktion sääntö pyritään ilmoittamaan matemaattisella lausekkeella. Lyhyt Matikka -kirjasarja suhteutui funktioon välineenä, jolla ensisijaisesti toimittiin, kun taas SIGMA ja Kertoma! -kirjasarjoissa se oli enemmänkin päämäärä, jota kohti oltiin matkalla. Lyhyt Matikka kertoi funktion olevan sääntö, joka ilmaisee kuinka luvusta saadaan toinen luku. SIGMA ei opettanut funktion yleistä muotoa, mutta kirja kertoi funktion liittävän jokaiseen muuttujaan x täsmälleen yhden arvon y. Kertoma! opetti yleisen muodon käytännön tasolla, mutta ei abstraktilla relaation tasolla.
Pitkässä matematiikassa jokainen kirjasarja opetti funktion olevan yksikäsitteinen sääntö, mutta asian esittämisen matemaattisessa täsmällisyydessä oli eroja. Pitkässä matematiikassa täsmällisin ja samalla runsain kirjasarja funktion käsitteen osalta oli Laudatur. Pitkä SIGMA oli loogisin ja rakenteeltaan selkein kokonaisuus opettaen funktion käsitteestä kaiken tarpeellisen, jotta sen voi omaksua ja ymmärtää yleisellä tasolla, mutta ei enempää. Pitkä Matematiikka oli esitykseltään niukin ja rajasi funktion koskemaan vain lukuja ja esitteli funktion enemmänkin toiminnallisena välineenä, kuin kuvauksena kahden joukon välillä.
Tutkimuksen tärkein johtopäätelmä oli se, että vaikka kaikki kirjasarjat noudattivat samaa opetussuunnitelmaa, olivat tavat opettaa funktio jokaisessa kirjasarjassa erilainen. Näin ollen kirjasarjan valinta vaikuttaa oleellisesti tapaan, jolla funktio lukion lyhyessä matematiikassa kirjan avulla esitetään. Tästä johtuen opettajien tulee olla tietoisia niistä syistä, joiden takia valitsevat käyttämänsä kurssikirjat ja toisaalta niistä seurauksista, joita nämä valinnat mahdollisesti aiheuttavat oppilaiden matemaattisessa osaamisessa.