SYT- ja PYM-matriisien unitaarisista vastineista
KOLIINI, ANSSI (2009)
KOLIINI, ANSSI
2009
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2009-03-23
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-19671
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-19671
Tiivistelmä
Olkoon A = {x1,x2,...,xn} pienimmästä suurimpaan alkioon järjestetty joukko positiivisia kokonaislukuja ja olkoon f aritmeettinen funktio. Joukon A ja aritmeettisen funktion f määräämällä SYT-matriisilla tarkoitetaan matriisia, jonka i. rivin j. alkio on funktion f arvo alkoiden xi ja xj suurimman yhteisen tekijän kohdalla. Vastaavasti määritellään joukon A ja funktion f määräämä PYM-matriisi pienimmän yhteisen monikerran avulla. Koska positiivisten kokonaislukujen joukko muodostaa hilan yhdessä jaollisuuden kanssa, niin esitetyt SYT- ja PYM-matriisien määritelmät ovat mielekkäitä, sillä suurin yhteinen tekijä ja pienin yhteinen monikerta ovat aina yksikäsitteisinä olemassa.
Positiivisen kokonaisluvun n unitaaritekijällä d tarkoitetaan luvun n sellaista tekijää, että (d, n/d) = 1. Kokonaislukujen joukko yhdessä unitaaritekijärelaation kanssa ei kuitenkaan muodosta hilaa, toisin kuin tavanomaisen jaollisuuden tapauksessa, sillä suurinta yhteistä unitaarimonikertaa ei välttämättä ole olemassa. Näin ollen yritys muodostaa PYM-matriisille unitaarinen vastine suoraan pienimmän yhteisen unitaarimonikerran avulla on tuomittu epäonnistumaan. SYT-matriisin unitaarinen vastine sen sijaan voidaan määritellä korvaamalla suurin yhteinen tekijä suurimmalla yhteisellä unitaaritekijällä.
Pentti Haukkanen, Pauliina Ilmonen, Ayse Nalli ja Juha Sillanpää esittelevät artikkelissa On unitary analogs of GCD reciprocal LCM matrices kolme erilaista menetelmää kokonaislukujen joukon sekä unitaaritekijärelaation laajentamiseen sellaiseksi, että laajennettu joukko yhdessä laajennetun unitaaritekijärelaation kanssa muodostaa hilan. Tällöin kutakin laajennusta hyödyntäen pystytään muodostamaan SYT- ja PYM-matriiseille tietynlaisia unitaarisia vastineita. Artikkelissa määritetään myös kaavat tiettyjen aritmeettisten funktioiden luokkien määräämien SYT- ja PYM-matriisien unitaaristen vastineiden Hadamardin osamäärän determinantille sekä osoitetaan, että konstruoidut laajennukset eroavat merkittävästi toisistaan tiettyjen ominaisuuksien suhteen. Tässä tutkielmassa perehdytään tämän artikkelin lauseiden todistuksiin, laajennusten konstruktioihin sekä tutustutaan suurimpaan osaan artikkelin ymmärtämiseen tarvittavista esitiedoista.
Positiivisen kokonaisluvun n unitaaritekijällä d tarkoitetaan luvun n sellaista tekijää, että (d, n/d) = 1. Kokonaislukujen joukko yhdessä unitaaritekijärelaation kanssa ei kuitenkaan muodosta hilaa, toisin kuin tavanomaisen jaollisuuden tapauksessa, sillä suurinta yhteistä unitaarimonikertaa ei välttämättä ole olemassa. Näin ollen yritys muodostaa PYM-matriisille unitaarinen vastine suoraan pienimmän yhteisen unitaarimonikerran avulla on tuomittu epäonnistumaan. SYT-matriisin unitaarinen vastine sen sijaan voidaan määritellä korvaamalla suurin yhteinen tekijä suurimmalla yhteisellä unitaaritekijällä.
Pentti Haukkanen, Pauliina Ilmonen, Ayse Nalli ja Juha Sillanpää esittelevät artikkelissa On unitary analogs of GCD reciprocal LCM matrices kolme erilaista menetelmää kokonaislukujen joukon sekä unitaaritekijärelaation laajentamiseen sellaiseksi, että laajennettu joukko yhdessä laajennetun unitaaritekijärelaation kanssa muodostaa hilan. Tällöin kutakin laajennusta hyödyntäen pystytään muodostamaan SYT- ja PYM-matriiseille tietynlaisia unitaarisia vastineita. Artikkelissa määritetään myös kaavat tiettyjen aritmeettisten funktioiden luokkien määräämien SYT- ja PYM-matriisien unitaaristen vastineiden Hadamardin osamäärän determinantille sekä osoitetaan, että konstruoidut laajennukset eroavat merkittävästi toisistaan tiettyjen ominaisuuksien suhteen. Tässä tutkielmassa perehdytään tämän artikkelin lauseiden todistuksiin, laajennusten konstruktioihin sekä tutustutaan suurimpaan osaan artikkelin ymmärtämiseen tarvittavista esitiedoista.