Q-multinomikertoimet
PYYKKÖ, TIINA (2008)
PYYKKÖ, TIINA
2008
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2008-11-26
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-19458
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-19458
Tiivistelmä
Q-binomikertoimet ja q-multinomikertoimet ovat binomikerrointen ja multinomikerrointen yleistyksiä kokonaisluvuilta polynomeille. Tutkielmassa määritellään nämä kertoimet sekä esitetään niihin liittyviä lauseita. Lauseissa annetaan q-binomikertoimien ominaisuuksia sekä eräs niiden sovellus vektoriavaruuksiin. Myös permutaation inversion käsite on keskeinen tutkielmassa,
sillä se liittyy q-multinomikertoimiin. Tutkielman keskeisenä näkökulmana onkin tutkia q-multinomikertoimia permutaatioiden lukumäärät niissä olevien inversioiden mukaan generoivana funktiona.
Tutkielman alkupuolella määritellään permutaatiot, niissä olevat inversiot sekä generoiva funktio. Luvut 3 ja 4 käsittelevät inversioita. Kolmannessa luvussa käsitellään inversioiden erästä sovellusta lineaarialgebrassa. Inversioiden avulla voidaan nimittäin laskea neliömatriisin determinantti eksplisiittisesti. Neljännessä luvussa puolestaan annetaan generoiva funktio, joka tuottaa kaikkien n alkion pituisten permutaatioiden lukumäärät niissä olevien inversioiden lukumäärien mukaan.
Luvussa 5 siirrytään q-binomikertoimiin tutkimalla aluksi niiden ja binomikerrointen yhteisiä ominaisuuksia. Samassa luvussa esitellään myös kaksi erilaista, käytännön läheistä tulkintaa q-binomikertoimille. Luvun 6 aiheena ovat q-multinomikertoimet multijoukon permutaatiot inversioittain generoivana funktiona.
Aikaisempien lukujen aiheet luovat pohjaa lukujonojen muodon välttämisen teorialle, johon tutustutaan viimeisessä luvussa. Siinä laajennetaan inversion käsitettä permutaatiossa esiintyviin muotoihin. Luvussa perehdytään kysymykseen siitä, kuinka saadaan annettua muotoa välttävien permutaatioiden lukumäärä sekä tutkitaan esimerkinomaisesti, kuinka voidaan luoda permutaatioita, jotka välttävät erästä annettua muotoa.
Asiasanat: inversio, generoiva funktio, q-binomikertoimet, q-multinomikertoimet, muodon välttäminen
sillä se liittyy q-multinomikertoimiin. Tutkielman keskeisenä näkökulmana onkin tutkia q-multinomikertoimia permutaatioiden lukumäärät niissä olevien inversioiden mukaan generoivana funktiona.
Tutkielman alkupuolella määritellään permutaatiot, niissä olevat inversiot sekä generoiva funktio. Luvut 3 ja 4 käsittelevät inversioita. Kolmannessa luvussa käsitellään inversioiden erästä sovellusta lineaarialgebrassa. Inversioiden avulla voidaan nimittäin laskea neliömatriisin determinantti eksplisiittisesti. Neljännessä luvussa puolestaan annetaan generoiva funktio, joka tuottaa kaikkien n alkion pituisten permutaatioiden lukumäärät niissä olevien inversioiden lukumäärien mukaan.
Luvussa 5 siirrytään q-binomikertoimiin tutkimalla aluksi niiden ja binomikerrointen yhteisiä ominaisuuksia. Samassa luvussa esitellään myös kaksi erilaista, käytännön läheistä tulkintaa q-binomikertoimille. Luvun 6 aiheena ovat q-multinomikertoimet multijoukon permutaatiot inversioittain generoivana funktiona.
Aikaisempien lukujen aiheet luovat pohjaa lukujonojen muodon välttämisen teorialle, johon tutustutaan viimeisessä luvussa. Siinä laajennetaan inversion käsitettä permutaatiossa esiintyviin muotoihin. Luvussa perehdytään kysymykseen siitä, kuinka saadaan annettua muotoa välttävien permutaatioiden lukumäärä sekä tutkitaan esimerkinomaisesti, kuinka voidaan luoda permutaatioita, jotka välttävät erästä annettua muotoa.
Asiasanat: inversio, generoiva funktio, q-binomikertoimet, q-multinomikertoimet, muodon välttäminen