Residylause ja sen sovelluksia
JOUTSIJOKI, HENRY (2007)
JOUTSIJOKI, HENRY
2007
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2007-12-19
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-17583
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-17583
Tiivistelmä
Residylause on kompleksianalyysiin kuuluva tulos, jonka avulla voimme laskea tehokkaasti määrättyjä integraaleja annetusta funktiosta. Perusideana residylauseessa on laskea annetun funktion residyjen summa erikoispisteissä ja kertoa se 2πi:llä, jolloin integraalin arvo saadaan selville.
Tutkielman toisessa luvussa käsittelemme erikoispisteitä, jotka ovat perustana myöhemmin esitettävälle residylauseelle. Jaamme tutkielmassa erikoispisteet kahteen osaan: nollakohtaan ja eristettyihin erikoispisteisiin. Aluksi esitämme nollakohtaan liittyviä tuloksia ja esimerkkejä. Tämän jälkeen keskitymme eristettyihin erikoispisteisiin, jotka
jaetaan kolmeen alaluokkaan: poistuva erikoispiste, oleellinen erikoispiste ja napa. Nämä erotellaan toisistaan Laurentin sarjakehitelmän kertoimien luonteen mukaan. Viimeisenä asiana toisessa luvussa esitämme residyn määritelmän ja sen määrittämiseen liittyviä lauseita.
Kolmannessa luvussa todistamme ensimmäiseksi residylauseen, jonka jälkeen todistamme residylausetta apuna käyttäen integrointilauseita ja tärkeän argumentin periaatteen. Tämän jälkeen siirrymme tutkielmassa käsittelemään argumentin periaatteen sovelluksia. Näistä sovelluksista tunnetuimmat ovat: algebran peruslause, Rouchén lause ja Hurwitzin lause. Viimeisessä alaluvussa todistamme Riemannnin funktionaaliyhtälön, joka kuuluu analyyttisen lukuteorian piiriin ja samalla saamme residylauseelle ja Riemannin ζ-funktion välille yhteyden.
Viimeisessä luvussa käsittelemme residylauseen historiaa. Historiaosuudessa keskitymme kahteen kuuluisaan matemaatikkoon, Augustin-Louis Cauchyyn ja Ernst Lindelöfiin, joiden saavutukset residylauseen historiassa ovat kiistatta merkittävimmät. Tässä luvussa käymme läpi yksityiskohtaisesti heidän kehittämiä tuloksia ja tällä tavoin annamme lukijalle laajan näkemyksen residylauseen historiallisesta kehityksestä.
Asiasanat: residylause, kompleksianalyysi
Tutkielman toisessa luvussa käsittelemme erikoispisteitä, jotka ovat perustana myöhemmin esitettävälle residylauseelle. Jaamme tutkielmassa erikoispisteet kahteen osaan: nollakohtaan ja eristettyihin erikoispisteisiin. Aluksi esitämme nollakohtaan liittyviä tuloksia ja esimerkkejä. Tämän jälkeen keskitymme eristettyihin erikoispisteisiin, jotka
jaetaan kolmeen alaluokkaan: poistuva erikoispiste, oleellinen erikoispiste ja napa. Nämä erotellaan toisistaan Laurentin sarjakehitelmän kertoimien luonteen mukaan. Viimeisenä asiana toisessa luvussa esitämme residyn määritelmän ja sen määrittämiseen liittyviä lauseita.
Kolmannessa luvussa todistamme ensimmäiseksi residylauseen, jonka jälkeen todistamme residylausetta apuna käyttäen integrointilauseita ja tärkeän argumentin periaatteen. Tämän jälkeen siirrymme tutkielmassa käsittelemään argumentin periaatteen sovelluksia. Näistä sovelluksista tunnetuimmat ovat: algebran peruslause, Rouchén lause ja Hurwitzin lause. Viimeisessä alaluvussa todistamme Riemannnin funktionaaliyhtälön, joka kuuluu analyyttisen lukuteorian piiriin ja samalla saamme residylauseelle ja Riemannin ζ-funktion välille yhteyden.
Viimeisessä luvussa käsittelemme residylauseen historiaa. Historiaosuudessa keskitymme kahteen kuuluisaan matemaatikkoon, Augustin-Louis Cauchyyn ja Ernst Lindelöfiin, joiden saavutukset residylauseen historiassa ovat kiistatta merkittävimmät. Tässä luvussa käymme läpi yksityiskohtaisesti heidän kehittämiä tuloksia ja tällä tavoin annamme lukijalle laajan näkemyksen residylauseen historiallisesta kehityksestä.
Asiasanat: residylause, kompleksianalyysi