Opintomoniste joukko-opin ja logiikan perusteista
Lammi, Kari (2018)
Lammi, Kari
2018
Matematiikan ja tilastotieteen tutkinto-ohjelma - Degree Programme in Mathematics and Statistics
Luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2018-05-30
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201805311902
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201805311902
Tiivistelmä
Tämä tutkielma on kirjoitettu opintomonisteeksi lukion valinnaiselle kurssille niille oppilaille, joita kiinnostavat matematiikan perusteet. Matemaattinen logiikka ja joukko-oppi on karsittu lähes kokonaan lukion matematiikasta joskin ne ovat niin perustavanlaatuisia matematiikan osa-alueita, että kaikilta logiikan ja joukko-opin merkinnöiltä ei voida koskaan välttyä. Logiikka ja joukko-oppi luovat yhdessä matematiikan perustan, joten niiden opiskelu ei periaatteessa vaadi pohjatietoja; vain hieman abstraktia ajattelutaitoa. Näin ollen kurssilla voi olla mukana oppilaita, jotka ovat muissa matematiikan opinnoissa keskenään eri vaiheissa.
Tässä (opinto)monisteessa tutustutaan ensin lause- ja predikaattilogiikan perusteisiin. Lauselogiikasta käydään läpi muunmuassa loogiset operaattorit eli konnektiivit ja tutkitaan niiden avulla muodostettujen lauselogiikan kaavojen totuusarvoja totuustaulujen avulla. Jokainen lauselogiikan kaava on aina joko tosi tai epätosi. Jos kaava on tosi jokaisessa mahdollisessa ”tapauksessa”, se on tautologia. Myös tätä voidaan tarkastella totuustaululla. Sekä lause- että predikaattilogiikan aksioomat esitellään, minkä jälkeen molemmista logiikan osa-alueista on erikseen tehtäviä.
Joukko-oppia tarkastellaan ensin naiivista näkökulmasta, jolloin joukko-opin peruskäsitteet on helpompi hahmottaa. Kun naiivin joukko-opin tehtävät on tehty, siirrytään aksiomaattisen joukko-opin puolelle, jossa kaikki tarkasteltavat oliot ovat joukkoja. Joukko-opin ZFC-aksioomajärjestelmä käydään suhteellisen perusteellisesti läpi. Tämän jälkeen tutustutaan joukkoalgebrallisia tilanteita havainnollistaviin Venn-diagrammeihin sekä muunmuassa funktion ja luonnollisten lukujen joukkoopillisiin määritelmiin. Pohditaan myös miten joukkojen kokoja voidaan verrata keskenään. Lopuksi myös aksiomaattisesta joukko-opista on kappaleen lopussa annettu tehtäviä.
Tärkeimpänä lähteenä logiikan osuudesssa on käytetty Mendelsonin kirjaa Introduction to mathematical logic [7] ja joukko-opin osuudessa Endertonin kirjaa Elements of set theory [2].
Tässä (opinto)monisteessa tutustutaan ensin lause- ja predikaattilogiikan perusteisiin. Lauselogiikasta käydään läpi muunmuassa loogiset operaattorit eli konnektiivit ja tutkitaan niiden avulla muodostettujen lauselogiikan kaavojen totuusarvoja totuustaulujen avulla. Jokainen lauselogiikan kaava on aina joko tosi tai epätosi. Jos kaava on tosi jokaisessa mahdollisessa ”tapauksessa”, se on tautologia. Myös tätä voidaan tarkastella totuustaululla. Sekä lause- että predikaattilogiikan aksioomat esitellään, minkä jälkeen molemmista logiikan osa-alueista on erikseen tehtäviä.
Joukko-oppia tarkastellaan ensin naiivista näkökulmasta, jolloin joukko-opin peruskäsitteet on helpompi hahmottaa. Kun naiivin joukko-opin tehtävät on tehty, siirrytään aksiomaattisen joukko-opin puolelle, jossa kaikki tarkasteltavat oliot ovat joukkoja. Joukko-opin ZFC-aksioomajärjestelmä käydään suhteellisen perusteellisesti läpi. Tämän jälkeen tutustutaan joukkoalgebrallisia tilanteita havainnollistaviin Venn-diagrammeihin sekä muunmuassa funktion ja luonnollisten lukujen joukkoopillisiin määritelmiin. Pohditaan myös miten joukkojen kokoja voidaan verrata keskenään. Lopuksi myös aksiomaattisesta joukko-opista on kappaleen lopussa annettu tehtäviä.
Tärkeimpänä lähteenä logiikan osuudesssa on käytetty Mendelsonin kirjaa Introduction to mathematical logic [7] ja joukko-opin osuudessa Endertonin kirjaa Elements of set theory [2].