Hardyn-Littlewoodin maksimaalifunktio
Palonen, Kim (2023-05-16)
Palonen, Kim
K. Palonen
16.05.2023
© 2023 Kim Palonen. Ellei toisin mainita, uudelleenkäyttö on sallittu Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0) -lisenssillä (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). Uudelleenkäyttö on sallittua edellyttäen, että lähde mainitaan asianmukaisesti ja mahdolliset muutokset merkitään. Sellaisten osien käyttö tai jäljentäminen, jotka eivät ole tekijän tai tekijöiden omaisuutta, saattaa edellyttää lupaa suoraan asianomaisilta oikeudenhaltijoilta.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202305161779
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202305161779
Tiivistelmä
Hardyn-Littlewoodin maksimaalifunktio on funktio, joka kertoo funktion maksimaalisen keskiarvon tietyn pisteen ympärillä. Aihe liittyy mittateoriaan, koska maksimaalifunktiot lasketaan mittaintegraalien avulla. Tutkielmassa käsitellään lyhyesti mittateorian perusteet Lebesguen mitan ja integraalin avulla, ja käydään joitakin aiheeseen liittyviä todistuksia. Tämän jälkeen siirrytään käsittelemään Hardyn-Littlewoodin maksimaalifunktiota.
Lause, jonka todistaminen on tutkielman päätavoite, liittyy Lp-avaruuksiin. Lauseen mukaan jos funktio kuuluu Lp-avaruuteen jollakin yhtä aidosti suuremmalla p:n arvolla, niin myös funktion Hardyn-Littlewoodin maksimaalifunktio kuuluu samaan Lp-avaruuteen. Lauseen todistamista varten todistetaan apulauseita kuten 5r-peitelause ja Cavalierin periaate.
Lause, jonka todistaminen on tutkielman päätavoite, liittyy Lp-avaruuksiin. Lauseen mukaan jos funktio kuuluu Lp-avaruuteen jollakin yhtä aidosti suuremmalla p:n arvolla, niin myös funktion Hardyn-Littlewoodin maksimaalifunktio kuuluu samaan Lp-avaruuteen. Lauseen todistamista varten todistetaan apulauseita kuten 5r-peitelause ja Cavalierin periaate.
Kokoelmat
- Avoin saatavuus [31930]