Parametric differential equations and inverse diffusivity problem

Loading...
Thumbnail Image
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Perustieteiden korkeakoulu | Master's thesis
Date
2014
Department
Major/Subject
Matematiikka
Mcode
Mat-1
Degree programme
Language
en
Pages
v + 54 s.
Series
Abstract
Parametric differential equations have received increased attention during the past decade, mostly due to their applications to quantifying stochastic systems. In this thesis, we formulate the parametric time-dependent diffusion equation and solve it numerically by using the finite element method in the spatial domain and the spectral Galerkin method in the parameter domain. The obtained solution is used as a tool for an inverse boundary value problem, where the unknown is the diffusion coefficient. The absence of random variables in the forward problem allows choosing compactly supported functions such as splines to represent the diffusivity, whereas the stochastic equations are usually parametrized by using orthogonal Karhunen-Loève eigenfunctions. We analyze how the locality of the diffusivity functions affects the sparsity of the resulting large linear system. In the context of direct equation solvers, the reduction of fill-in is addressed with numerical examples. Although discretization errors are clearly visible, diffusivity reconstructions indicate that the solution to the parametric equation may provide a feasible algorithm for the inverse diffusivity problem, which further can be considered as a basis for thermal tomography.

Kiinnostus parametririippuvia differentiaaliyhtälöitä kohtaan on kasvanut viimeisen vuosikymmenen aikana. Pääosin tämä on johtunut satunnaisuutta sisältäviin malleihin liittyvistä sovelluskohteista. Tässä työssä esitellään parametrinen ajasta riippuva diffuusioyhtälö, joka ratkaistaan numeerisesti käyttämällä elementtimenetelmää paikan suhteen ja Galerkinin spektraalimenetelmää parametrialueessa. Saatua ratkaisua hyödynnetään käänteisessä reuna-arvo-ongelmassa, jossa tuntemattomana suureena on diffuusiokerroin. Satunnaismuuttujien puuttuminen suorassa ongelmassa mahdollistaa diffuusiokertoimen esittämisen kompaktikantajaisten funktioiden avulla. Näin voidaan käyttää esimerkiksi palapolynomeja eli splinejä, kun taas stokastiset yhtälöt parametrisoidaan yleensä käyttämällä ortogonaalisia Karhunen-Loève-ominaisfunktioita. Työssä analysoidaan lokaalien funktioiden vaikutusta lineaarisen yhtälöryhmän harvuuteen. Lisäksi matriisien täyttymisen vähentymistä suorien yhtälöratkaisimien yhteydessä tutkitaan numeerisin esimerkein. Vaikka diskretointivirheet näkyvät selvästi, diffusiokertoimesta muodostettujen rekonstruktioiden perusteella näyttää siltä, että parametrisen yhtälön avulla saadaan toimiva ratkaisualgoritmi diffuusiokertoimen käänteisongelmaan, jota puolestaan voidaan pitää lämpötomografian perustana.
Description
Supervisor
Hyvönen, Nuutti
Thesis advisor
Leinonen, Matti
Keywords
parametriset differentiaaliyhtälöt, inversio-ongelmat, harvat matriisit, splinit, parametric differential equations, inverse problems, sparse matrices, splines
Other note
Citation