En introduktion till krusningar via Haarsystemet
Jern, Lennart (2016)
Jern, Lennart
Åbo Akademi
2016
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2016111428492
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2016111428492
Tiivistelmä
Krusningar (eng. wavelets) är en sorts basfunktioner som används t.ex. inom signalbehan-
dling och komprimering. Den mest grundläggande av alla krusningar är Haarkrusningen
och den används i den här avhandlingen som utgångspunkt för tillämpningar och exempel
i form av bildkomprimering.
Målet har varit att undersöka hur krusningar kan användas i praktiken och bygga
upp en intuition för hur Haartransformen fungerar. Stöd för förståelsen ges med hjälp av
beskrivande figurer och visuella exempel på komprimeringens effekter.
Utgående från en krusning går det alltid att bilda en familj av krusningar som till-
sammans utgör en ortonormerad bas för Hilbertrummet L 2 (R). Med hjälp av en sådan
bas går det sedan att dela upp en signal i olika beståndsdelar för analys eller modifiering.
Exempelvis kan en signal som innehåller brus på en hög frekvens delas upp i höga och låga
frekvenser. På så sätt går det att göra sig av med bruset om krusningsbasen är väl vald.
Krusningstransformen kan ses som en generalisering av Fouriertransformen med den
skillnaden att krusningarna ger en tidslokal frekvensanalys. Det här är speciellt viktigt för
behandling av signaler med flera tidslokala delar. I ett musikstycke kan t.ex. varje takt
vara uppbyggd kring ett skilt ackord och då är det viktigt att kunna analysera signalen
tidslokalt för att inte blanda ihop alla ackorden.
Bildkomprimering har blivit oerhört viktigt i och med digitalkamerornas utveckling
och introduktionen av telefoner med inbyggd kamera. Digitalkamerorna har fått högre
upplösning och har nu ofta mellan 10 och 20 miljoner pixlar per bild. Det produceras
också allt större mängder bilder som sedan dessutom sprids flitigare än förr med hjälp
av olika tjänster på internet. Komprimeringen behövs dels för att stora mängder bilder
praktiskt ska kunna lagras och dels för att bilderna också ska kunna sändas snabbt över
internet.
Krusningarna lämpar sig väl för bildbehandling och -komprimering eftersom två punk-
ter nära varandra i en bild ofta har någonting gemensamt (t.ex. samma färg eller ljusstyr-
ka). Om bilden tolkas som en signal ligger de här punkterna nära varandra i tiden istället
och det finns därför orsak att analysera bilden tidslokalt. Implementationen av bildkom-
primeringen i den här avhandlingen är gjord i Octave med en in situ-algoritm.
Haarkrusningen fungerar bra som introduktion till krusningar, men den lämpar sig
inte för bildkomprimering annat än i vissa specialfall. Däremot ger Haarsystemet enkla
beräkningar som går bra att göra också för hand i mindre skala. Haarsystemet ger också
en naturlig koppling till de enkla funktioner som används för att bygga upp den allmänna
teorin kring krusningar.
dling och komprimering. Den mest grundläggande av alla krusningar är Haarkrusningen
och den används i den här avhandlingen som utgångspunkt för tillämpningar och exempel
i form av bildkomprimering.
Målet har varit att undersöka hur krusningar kan användas i praktiken och bygga
upp en intuition för hur Haartransformen fungerar. Stöd för förståelsen ges med hjälp av
beskrivande figurer och visuella exempel på komprimeringens effekter.
Utgående från en krusning går det alltid att bilda en familj av krusningar som till-
sammans utgör en ortonormerad bas för Hilbertrummet L 2 (R). Med hjälp av en sådan
bas går det sedan att dela upp en signal i olika beståndsdelar för analys eller modifiering.
Exempelvis kan en signal som innehåller brus på en hög frekvens delas upp i höga och låga
frekvenser. På så sätt går det att göra sig av med bruset om krusningsbasen är väl vald.
Krusningstransformen kan ses som en generalisering av Fouriertransformen med den
skillnaden att krusningarna ger en tidslokal frekvensanalys. Det här är speciellt viktigt för
behandling av signaler med flera tidslokala delar. I ett musikstycke kan t.ex. varje takt
vara uppbyggd kring ett skilt ackord och då är det viktigt att kunna analysera signalen
tidslokalt för att inte blanda ihop alla ackorden.
Bildkomprimering har blivit oerhört viktigt i och med digitalkamerornas utveckling
och introduktionen av telefoner med inbyggd kamera. Digitalkamerorna har fått högre
upplösning och har nu ofta mellan 10 och 20 miljoner pixlar per bild. Det produceras
också allt större mängder bilder som sedan dessutom sprids flitigare än förr med hjälp
av olika tjänster på internet. Komprimeringen behövs dels för att stora mängder bilder
praktiskt ska kunna lagras och dels för att bilderna också ska kunna sändas snabbt över
internet.
Krusningarna lämpar sig väl för bildbehandling och -komprimering eftersom två punk-
ter nära varandra i en bild ofta har någonting gemensamt (t.ex. samma färg eller ljusstyr-
ka). Om bilden tolkas som en signal ligger de här punkterna nära varandra i tiden istället
och det finns därför orsak att analysera bilden tidslokalt. Implementationen av bildkom-
primeringen i den här avhandlingen är gjord i Octave med en in situ-algoritm.
Haarkrusningen fungerar bra som introduktion till krusningar, men den lämpar sig
inte för bildkomprimering annat än i vissa specialfall. Däremot ger Haarsystemet enkla
beräkningar som går bra att göra också för hand i mindre skala. Haarsystemet ger också
en naturlig koppling till de enkla funktioner som används för att bygga upp den allmänna
teorin kring krusningar.
Kokoelmat
- 111 Matematiikka [38]