On sparse tensor structures in lattice theory and applications of the polynomial collocation method based on sparse grids

Loading...
Thumbnail Image
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
School of Science | Doctoral thesis (article-based) | Defence date: 2017-08-02
Date
2017
Major/Subject
Mcode
Degree programme
Language
en
Pages
49 + app. 135
Series
Aalto University publication series DOCTORAL DISSERTATIONS, 130/2017
Abstract
Due to the exponential increase in computational power ever since the invention of the computer, the use of tensors has become a more viable way to approach problems involving many variables. However, the efficient treatment of high-dimensional problems still requires special techniques such as tensor decompositions and utilizing sparsity. The first part of this dissertation considers the properties of symmetric meet and join tensors arising in lattice theory, which can be understood as generalizations of meet and join matrices such as classically studied GCD and LCM matrices, respectively. New low-parametric tensor decompositions are developed for general classes of lattice-theoretic tensors in both polyadic and tensor-train formats. The compressed representations endowed by these decompositions enable numerical computations involving high dimensionality and order, and the efficient application of tensor eigenvalue solution algorithms is studied for tensors belonging to these classes. The second part of this dissertation considers the application of sparse grid collocation algorithms for the solution of parameter-dependent partial differential equations involving high dimensionality. We consider as applications a class of stochastic eigenvalue problems and a parameter-dependent complete electrode model of electrical impedance tomography. A novel basis selection technique based on the maximum volume principle is introduced for multivariate polynomial interpolation over arbitrary node configurations.

Tensorien soveltamisesta on tullut varteenotettava tapa lähestyä usean muuttujan ongelmia johtuen laskennallisen tehon eksponentiaalisesta kasvusta tietokoneen keksimisestä lähtien. Korkeaulotteisten ongelmien tehokas käsittely vaatii kuitenkin edelleen erityisiä tekniikoita kuten tensorihajotelmien soveltamista ja harvojen rakenteiden hyödyntämistä. Väitöskirjan ensimmäinen osio käsittelee symmetristen hilateoreettisten tensorien ominaisuuksia, jotka ovat hilateoreettisten matriisien kuten perinteisesti tutkittujen GCD- ja LCM-matriisien yleistyksiä. Väitöskirjassa kehitetään uusi vähäparametrinen tensorihajotelmaesitys yleiselle luokalle hilateoreettisia tensoreja sekä polyadisessa että tensoriketjumuodossa. Näiden hajotelmien tuottamat tiiviit esitysmuodot mahdollistavat numeeristen laskutoimitusten suorittamisen korkean asteen ja ulottuvuuden omaavilla tensoreilla, ja työssä tarkastellaan tensoriominaisarvojen ratkaisualgoritmien tehokasta soveltamista kyseiseen luokkaan kuuluville tensoreille. Väitöskirjan toinen osio käsittelee harvoja tensorihiloja hyödyntävien kollokaatioalgoritmien soveltamista korkeaulotteisiin parametririippuviin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Sovelluksina tarkastellaan erästä stokastisten ominaisarvo-ongelmien luokkaa ja sähköisen impedanssitomografian parametririippuvaa täydellistä elektrodimallia. Työssä esitellään myös uusi determinantin maksimointiin perustuva tekniikka usean muuttujan polynomisen interpolaation toteuttamiseen mielivaltaisten pistejoukkojen yli.
Description
Supervising professor
Ilmonen, Pauliina, Assistant Prof., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
Thesis advisor
Hakula, Harri, Dr., Aalto University, Department of Mathematics and Systems Analysis, Finland
Keywords
tensor-train, tensor eigenvalue, semilattice, sparse grid, polynomial collocation, multivariate interpolation, tensoriketju, tensoriominaisarvo, puolihila, harva hila, polynominen kollokaatio, usean muuttujan interpolaatio
Other note
Parts
  • [Publication 1]: H. Hakula, P. Ilmonen, and V. Kaarnioja. Computation of extremal eigenvalues of high-dimensional lattice-theoretic tensors via tensor-train decompositions. Submitted to SIAM Journal on Scientific Computing, arXiv:1705.05163, 22 pp., January 2017
  • [Publication 2]: P. Ilmonen and V. Kaarnioja. Generalized eigenvalue problems for meet and join matrices on semilattices. Submitted to Linear Algebra and Its Applications, arXiv:1705.05169, 18 pp., September 2016.
  • [Publication 3]: V. Kaarnioja. On the structure of join tensors with applications to tensor eigenvalue problems. Submitted to Linear and Multilinear Algebra, arXiv:1705.06313, 21 pp., January 2017.
  • [Publication 4]: H. Hakula, V. Kaarnioja, and M. Laaksonen. Approximate methods for stochastic eigenvalue problems. In The Fourth European Seminar on Computing (ESCO2014), Applied Mathematics and Computation, Vol. 267, pp. 664–681, September 2015.
    DOI: 10.1016/j.amc.2014.12.112 View at publisher
  • [Publication 5]: N. Hyvönen, V. Kaarnioja, L. Mustonen, and S. Staboulis. Polynomial collocation for handling an inaccurately known measurement configuration in electrical impedance tomography. SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 77(1), pp. 202–223, February 2017. arXiv:1604.00353.
    DOI: 10.1137/16M1068888 View at publisher
  • [Publication 6]: V. Kaarnioja. On applying the maximum volume principle to a basis selection problem in multivariate polynomial interpolation. Submitted to Electronic Transactions on Numerical Analysis, arXiv:1512.07424, 18 pp., May 2017
Citation